\(f\left(x\right)=-0,5x+3;g\left(x\right)=\left|x-3\right|\)
hai đồ thị của 2 hàm số đã cho tạo thành 1 tam giác. tìm tọa độ các đỉnh của tam giác và tính diện tích tam giác
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để hàm số y=(m-2)x+4+m là hàm số bậc nhất thì \(m-2\ne0\)
hay \(m\ne2\)
a) Để đồ thị hàm số y=(m-2)x+4+m đi qua điểm A(1;2) thì
Thay x=1 và y=2 vào hàm số y=(m-2)x+4+m, ta được
\(\left(m-2\right)\cdot1+4+m=2\)
\(\Leftrightarrow m-1+4+m=2\)
\(\Leftrightarrow2m+3=2\)
\(\Leftrightarrow2m=-1\)
hay \(m=-\dfrac{1}{2}\)(nhận)
Vậy: Để đồ thị hàm số y=(m-2)x+4+m đi qua điểm A(1;2) thì \(m=-\dfrac{1}{2}\)
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow x^3-2\left(3m+1\right)x=0\) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m>-\frac{1}{3}\) (1)
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là \(A\left(0;2m+2\right);B\left(-\sqrt{6m+2};-9m^2-4m+1\right);C\left(\sqrt{6m+2};-9m^2-4m+1\right)\)
Rõ ràng tam giác ABC cân tại A và trung tuyến kẻ từ A thuộc Oy. Do đó O là trọng tâm của tam giác ABC \(\Leftrightarrow y_A+2y_B=0\)
Hay \(2m+2+2\left(-9m^2-4m+1\right)=0\Leftrightarrow9m^2+3m-2=0\)
Suy ra \(m=-\frac{2}{3}\) hoặc \(m=\frac{1}{3}\)
Kết hợp với (1) suy ra giá trị của m là \(m=\frac{1}{3}\)
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m<2. Tọa độ các điểm cực trị là :
\(A\left(0;m^2-5m+5\right);B\left(\sqrt{2-m};1-m\right);C\left(-\sqrt{2-m};1-m\right)\)
Theo yêu cầu bài toán ta có \(\begin{cases}ab< 0\\AB=BC=CA\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m< 2\\8\left(m-2\right)^3+24=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=2-\sqrt[3]{3}\)
\(\left(m+1\right)x+\left(m-2\right)y=3\)\(\left(m\ne-1;m\ne2\right)\)
\(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{m+1}\Rightarrow A\left(\dfrac{3}{m+1};0\right)\Rightarrow OA=\left|\dfrac{3}{m+1}\right|\)
\(x=0\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{m-2}\Leftrightarrow B\left(0;\dfrac{3}{m-2}\right)\Rightarrow OB=\left|\dfrac{3}{m-2}\right|\)
\(S_{_{ }^{ }\Delta ABO}=\dfrac{9}{2}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{9}{\left|m+1\right|.\left|m-2\right|}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left|m+1\right|.\left|m-2\right|}=9\Leftrightarrow\left|m+1\right|.\left|m-2\right|=9\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2.\left(m-2\right)^2-81=0\Leftrightarrow\left(m^2-m-11\right)\left(m^2-m+7\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2-m-11=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1\pm3\sqrt{5}}{2}\left(tm\right)\\m^2-m+7=0\left(vô-nghiệm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=\dfrac{1\pm3\sqrt{5}}{2}\)
Cho x = 0 => \(y=\dfrac{3}{m-2}\)
vậy d cắt Oy tại A(0;3/m-2) => Oy = \(\left|\dfrac{3}{m-2}\right|\)
Cho y = 0 => \(x=\dfrac{3}{m+1}\)
vậy d cắt Ox tại B(3/m+1;0) => Ox = \(\left|\dfrac{3}{m+1}\right|\)
Ta có : \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}.OB.OA=\dfrac{1}{2}.\dfrac{9}{\left|\left(m+1\right)\left(m-2\right)\right|}=\dfrac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|\left(m+1\right)\left(m-2\right)\right|=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2-m-3=0\\m^2-m-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2};m=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}\\m=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};m=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
Pt hoành độ giao điểm: \(-\dfrac{1}{2}x+3=\left|x-3\right|\)
- Với \(x< 3\Rightarrow-\dfrac{1}{2}x+3=3-x\Rightarrow x=0\Rightarrow y=3\)
\(\Rightarrow A\left(0;3\right)\) là tọa độ đỉnh thứ nhất
- Với \(x>3\Rightarrow-\dfrac{1}{2}x+3=x-3\Rightarrow x=4\Rightarrow y=1\)
\(\Rightarrow B\left(4;1\right)\) là tọa độ đỉnh thứ 2
Hàm \(g\left(x\right)\) gãy khúc tại giao của nó với trục hoành \(\Rightarrow\left|x-3\right|=0\Rightarrow x=3\)
\(\Rightarrow C\left(3;0\right)\) là đỉnh thứ 3 của tam giác
Gọi D là giao điểm của \(f\left(x\right)\) với trục hoành \(\Rightarrow y_D=0\Rightarrow-\dfrac{1}{2}x_D+3=0\Rightarrow x_D=6\)
Gọi E là hình chiếu vuông góc của B xuống Ox \(\Rightarrow E\left(0;4\right)\)
\(S_{ABC}=S_{OAD}-\left(S_{OAC}+S_{BCD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}OA.OD-\left(\dfrac{1}{2}OA.OC+\dfrac{1}{2}CD.BE\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left|y_A\right|.\left|x_D\right|-\left(\dfrac{1}{2}\left|y_A\right|.\left|x_C\right|+\dfrac{1}{2}\left|x_D-x_C\right|.\left|y_B\right|\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}.3.6-\left(\dfrac{1}{2}.3.3-\dfrac{1}{2}.\left(6-3\right).1\right)=3\)